Prozentrechner: Formeln, Beispiele und Übungen
Grundwert, Prozentwert oder Prozentsatz: Du erkennst, welche Größe fehlt, und berechnest sie mit Formel oder Dreisatz, auch bei Rabatten.
Kurz gesagt
Ein Prozentrechner findet die fehlende von drei Größen: den Grundwert G (das Ganze, 100 %), den Prozentwert W (der Teil) und den Prozentsatz p\,\%. Es gilt W=G\cdot\frac{p}{100}. Beispiel: 15 % von 240 € sind 36 €.
Mit einem Prozentrechner findest du die fehlende Größe, sobald zwei Größen bekannt sind: das Ganze, den Anteil oder den Prozentsatz. Entscheidend ist zuerst die Frage: Was sind 100 %?
Deine Lernziele
Prozent bedeutet „von hundert“. Deshalb sind 25\,\%=\frac{25}{100}=0{,}25. Das Ganze entspricht immer 100 %. Achte in Textaufgaben auf die Rollen der Zahlen: „15 % von 240 €“: 240 € sind das Ganze, also G. „36 von 240 Personen“: 36 ist der Teil W, 240 ist das Ganze G. „42 € sind 6 % eines Betrags“: 42 € sind W, 6 % sind der Prozentsatz; gesucht ist G.
Grundwert G
Der Grundwert ist das Ganze, auf das sich die Prozentangabe bezieht. Er entspricht 100 %.
Prozentwert W
Der Prozentwert ist der konkrete Teil des Ganzen. Grundwert und Prozentwert haben dieselbe Einheit, zum Beispiel Euro oder Personen.
Prozentsatz p %
Der Prozentsatz beschreibt, wie groß der Teil im Verhältnis zum Ganzen ist. In 25\,\% ist 25 die Prozentzahl p; als Dezimalzahl lautet der Prozentsatz 0{,}25.
Teste dich
Schreibe zuerst auf, was gegeben und was gesucht ist. Frag dich: Kenne ich das Ganze, den Teil oder den Prozentsatz? Dann brauchst du nur eine der drei Beziehungen. Prozentwert berechnen: Gesucht ist der Teil: W=G\cdot\frac{p}{100} Prozentsatz berechnen: Gesucht ist der relative Anteil: p=\frac{W}{G}\cdot100 Grundwert berechnen: Gesucht ist das Ganze: G=\frac{W\cdot100}{p} Der Dreisatz zeigt, warum die Formeln funktionieren: Du gehst von den bekannten Prozent zuerst zu 1 % und dann zum gesuchten Wert. Für 15 % von 240 heißt das: 1 % entspricht 240 : 100 = 2,4, also entsprechen 15 % genau 2,4 · 15 = 36.
Beispiel: 15 % von 240 € berechnen
- 1Gegeben: G=240\,€ und p=15. Gesucht: W.
- 2W=240\,€\cdot\frac{15}{100}=240\,€\cdot0{,}15=36\,€
- 315 % von 240 € sind 36 €.
Beispiel: Wie viel Prozent sind 36 von 240 Personen?
- 1Gegeben: W=36 Personen und G=240 Personen. Gesucht: p.
- 2p=\frac{36}{240}\cdot100=15
- 336 von 240 Personen sind 15 %.
Beispiel: 42 € sind 6 % eines Guthabens
- 1Gegeben: W=42\,€ und p=6. Gesucht: G.
- 2Mit der Formel: G=\frac{42\,€\cdot100}{6}=700\,€
- 3Mit dem Dreisatz: 6 % entsprechen 42 €.
- 41 % entspricht 42 € : 6 = 7 €.
- 5100 % entsprechen 7 € · 100 = 700 €.
- 6Das gesamte Guthaben beträgt 700 €.
Teste dich
Bei einer Änderung ist der Ausgangswert die Bezugsgröße und entspricht 100 %. Eine Abnahme um 20 % lässt 80 % übrig; eine Zunahme um 20 % führt zu 120 %. Für den Endwert gilt: \text{Endwert}=\text{Ausgangswert}\cdot\left(1\pm\frac{p}{100}\right) Wenn Anfangs- und Endwert bekannt sind, beziehst du die Differenz auf den Anfangswert: \text{Veränderung in Prozent}=\frac{\text{Endwert}-\text{Ausgangswert}}{\text{Ausgangswert}}\cdot100\,\% Von 50 € auf 60 € beträgt die Veränderung \frac{60\,€-50\,€}{50\,€}\cdot100\,\%=20\,\%. Ist nach einer Erhöhung nur der Endwert bekannt, teilst du durch den Gesamtfaktor. Kostet ein Produkt nach 20 % Erhöhung 84 €, dann war der Ausgangspreis 84\,€:1{,}2=70\,€.
Beispiel: Ein Artikel für 90 € wird um 30 % reduziert
- 1Nach dem Rabatt bleiben 100\,\%-30\,\%=70\,\%. Der Faktor ist 0{,}7.
- 290\,€\cdot0{,}7=63\,€
- 3Der neue Preis beträgt 63 €.
Teste dich
Die Bezugsgröße entscheidet: 100 sind 500 % von 20, aber 400 % mehr als 20. Die ursprünglichen 20 entsprechen bereits 100 % und werden bei der Veränderung abgezogen. Umgekehrt sind 20 nur 20 % von 100 und damit 80 % weniger als 100. Die beiden Richtungen liefern verschiedene Veränderungen, weil die Bezugsgröße wechselt. Mehrere Rabatte werden nacheinander angewandt: 20 % und danach 10 % Rabatt lassen 0{,}8\cdot0{,}9=0{,}72 des Ausgangspreises übrig. Das sind 72 %; der Gesamtrabatt beträgt 28 %, nicht 30 %. Prozent und Prozentpunkte sind verschieden: Die Differenz zweier Prozentsätze misst du in Prozentpunkten, die relative Änderung in Prozent.
Beispiel: Ein Anteil steigt von 2 % auf 3 %
- 1Differenz: 3 % − 2 % = 1 Prozentpunkt
- 2Relative Änderung: \frac{3-2}{2}\cdot100\,\%=50\,\%
- 3Der Anteil ist um 1 Prozentpunkt gestiegen, das sind 50 % mehr als vorher.
Merke: Prüfe bei jeder Prozentangabe: Worauf bezieht sie sich? Wechselt die Bezugsgröße, ändert sich auch der Prozentsatz.
Teste dich
Alles auf einen Blick
Prozentrechner
Grundwert, Prozentwert, Prozentsatz
Teil, Anteil oder Ganzes berechnen
über 1 % zum gesuchten Wert
Ausgangswert als Bezugsgröße
durch den Gesamtfaktor teilen
Einheit, Bezugsgröße und Plausibilität
Ein Handy kostet nach 25 % Rabatt noch 360 €. Wie teuer war es vorher?
- 1Gesucht ist der alte Preis. Er entspricht 100 %.
- 2Nach dem Rabatt bleiben 100 % − 25 % = 75 %.
- 375 % entsprechen 360 €, also entspricht 1 % dem Betrag 360 € : 75 = 4,80 €.
- 4100 % entsprechen 4,80 € · 100 = 480 €.
- 5Probe: 25 % von 480 € sind 120 €, und 480 € − 120 € = 360 €.
Fehler finden
Fehler in Zeile 3Die zweiten 10 % beziehen sich auf den schon reduzierten Preis, deshalb darfst du die Rabatte nicht addieren. Richtig ist der Gesamtfaktor 0,8 · 0,9 = 0,72, also 150 € · 0,72 = 108 €.
Lückentext
Bei 15 % von 240 gilt: 100 % entsprechen . Ein Prozent entspricht . Deshalb entsprechen 15 % dem Wert .