Prozentuale Veränderung berechnen
Um wie viel Prozent ist ein Preis gestiegen? Du berechnest Veränderungen vom Anfangswert aus und rechnest mit dem Prozentfaktor vor und zurück.
Kurz gesagt
Die prozentuale Veränderung ist die Differenz aus Endwert und Anfangswert, geteilt durch den Anfangswert und mal 100 %. Von 40 € auf 50 € sind das \frac{10}{40}\cdot100\%=25\% mehr. Ein negatives Ergebnis bedeutet eine Abnahme.
Eine prozentuale Veränderung zeigt, wie stark sich ein Wert im Verhältnis zu seinem Anfangswert verändert hat. Bei einem positiven Anfangswert ungleich null rechnest du: \text{prozentuale Veränderung}=\frac{\text{Endwert}-\text{Anfangswert}}{\text{Anfangswert}}\cdot100\% Ein positives Ergebnis bedeutet eine Zunahme, ein negatives Ergebnis eine Abnahme.
Deine Lernziele
Was war vorher, und was gilt danach? Der Anfangswert ist der Wert vor der Veränderung. Der Endwert ist der Wert danach. Ein Preis sinkt von 45\,€ auf 36\,€. Dann ist 45\,€ der Anfangswert und 36\,€ der Endwert. Die absolute Änderung beträgt 36\,€-45\,€=-9\,€. Bei einem Anfangswert von 0 ist die prozentuale Veränderung mit dieser Formel nicht definiert, weil eine Division durch 0 unmöglich ist.
Absolute Änderung
Die absolute Änderung ist die Differenz aus Endwert und Anfangswert: \text{absolute Änderung}=\text{Endwert}-\text{Anfangswert} Sie hat dieselbe Einheit wie die beiden Werte, zum Beispiel Euro oder Kilogramm.
Merke: Wörter wie „zuerst“, „vorher“ oder „ursprünglich“ weisen oft auf den Anfangswert hin. „Jetzt“, „danach“ oder „neu“ weisen oft auf den Endwert hin.
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Wie wird aus einer Änderung in Euro oder Stück eine Prozentangabe? Du setzt die absolute Änderung ins Verhältnis zum Anfangswert. Bei einer Abnahme wird die Differenz negativ. Von 40\,€ auf 30\,€ gilt: \frac{30-40}{40}\cdot100\%=-25\% Das bedeutet: Der Preis ist um 25\% gesunken.
Beispiel: Kopfhörer werden von 40 € auf 50 € teurer
- 1Absolute Änderung: 50\,€-40\,€=10\,€
- 2Bezug auf den Anfangswert: \frac{10\,€}{40\,€}=0{,}25
- 3In Prozent: 0{,}25\cdot100\%=25\%
- 4Der Preis ist um 25 % gestiegen. Die Einheit Euro kürzt sich im Bruch heraus.
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Du kennst den Anfangswert und die Änderung in Prozent, aber nicht den Endwert? Dann fasst der Prozentfaktor die ursprünglichen 100\% und die Änderung zusammen. Manchmal kennst du nur den Endwert und die prozentuale Änderung. Weil der Endwert durch Multiplikation mit q entstanden ist, machst du diese Operation durch Division rückgängig: \text{Anfangswert}=\frac{\text{Endwert}}{q} Die Rückrechnung funktioniert nur für q\neq0. Bei einer Abnahme um 100\% ist q=0 und der Endwert immer 0. Aus diesem Endwert lässt sich der Anfangswert nicht eindeutig bestimmen.
Prozentfaktor
Bei einer Zunahme um p\% gilt q=1+\frac{p}{100}. Bei einer Abnahme um p\% gilt q=1-\frac{p}{100}. Mit dem Faktor berechnest du: \text{Endwert}=q\cdot\text{Anfangswert}
Beispiel: Ein Pullover für 50 € wird um 10 % reduziert
- 1Es bleiben 100\%-10\%=90\%, also q=0{,}9.
- 2Endwert: 0{,}9\cdot50\,€=45\,€
- 3Nach dem Rabatt kostet der Pullover 45 €.
Beispiel: Nach 15 % Rabatt kostet ein Rucksack 76,50 €. Wie teuer war er vorher?
- 1Faktor der Abnahme: q=1-0{,}15=0{,}85
- 2Anfangswert: 76{,}50\,€:0{,}85=90\,€
- 3Kontrolle: 15 % von 90 € sind 13,50 €, und 90\,€-13{,}50\,€=76{,}50\,€.
- 4Der Rucksack kostete vorher 90 €.
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„Um“ ist nicht dasselbe wie „auf“: Eine Erhöhung um 25\% führt auf 125\% des Anfangswerts. Der Änderungssatz ist 25\%, der Faktor ist 1{,}25. Die Richtung des Vergleichs zählt: Von 50 auf 200 beträgt die Zunahme 300\%, denn 200 sind 400\% von 50, also 300\% mehr. In der Gegenrichtung von 200 auf 50 beträgt die Abnahme dagegen 75\%. Gleiche Prozentsätze heben sich nicht auf: Steigt ein Wert von 200 zunächst um 10\%, erhältst du 220. Sinkt dieser neue Wert anschließend um 10\%, rechnest du 220\cdot0{,}9=198. Die Abnahme bezieht sich auf 220, nicht auf 200.
Merke: Die prozentuale Veränderung bezieht sich immer auf den jeweiligen Anfangswert. Vertauschst du Anfangs- und Endwert, ändert sich deshalb nicht nur das Vorzeichen.
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Alles auf einen Blick
Prozentuale Veränderung
Differenz durch Anfangswert, dann mal 100 %
Anfangswert mal Prozentfaktor
Endwert durch Prozentfaktor, sofern dieser nicht 0 ist
positives Ergebnis Zunahme, negatives Ergebnis Abnahme
Bezugswert, Faktor und Richtung prüfen
Ein Konzertticket kostete 64 €, jetzt kostet es 72 €. Um wie viel Prozent ist der Preis gestiegen?
- 1Anfangswert: 64 €, Endwert: 72 €
- 2Absolute Änderung: 72 € − 64 € = 8 €
- 3\frac{8}{64}=0{,}125
- 40{,}125\cdot100\%=12{,}5\%
- 5Der Preis ist um 12,5 % gestiegen.
Fehler finden
Fehler in Zeile 3Die Änderung wurde auf den Endwert bezogen. Bezugswert ist der Anfangswert: 250 : 1.250 = 0,2, also ist die Einwohnerzahl um 20 % gestiegen.
Lückentext
Bei einer Erhöhung um 15\% lautet der Faktor . Bei einer Senkung um 22\% lautet er . Ein Faktor größer als 1 steht für eine .