Quadratische Form in Kugelform

Aus der quadratischen Form einer Kugel bekommst Du durch quadratisches Ergänzen schnell die Kugelform, bei der Du dann den Mittelpunkt und den Radius der Kugel ablesen kannst:

$$ x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + b_1x_1 + b_2x_2 + b_3x_3 + c = 0 \\ \Leftrightarrow \left(x_1 + \frac{b_1}{2}\right)^2 - \frac{b_1^2}{4} + \left(x_2 + \frac{b_2}{2}\right)^2 - \frac{b_2^2}{4} + \left(x_3 + \frac{b_3}{2}\right)^2 - \frac{b_3^2}{4} + c = 0 \\ \Leftrightarrow \left(x_1 + \frac{b_1}{2}\right)^2 + \left(x_2 + \frac{b_2}{2}\right)^2 + \left(x_3 + \frac{b_3}{2}\right)^2 = \frac{b_1^2}{4} + \frac{b_2^2}{4} + \frac{b_3^2}{4} - c $$

Durch Vergleich der letzten Gleichung mit der Kugelform bekommst Du also:

$ M\left( -\frac{b_1}{2} | -\frac{b_2}{2} | -\frac{b_3}{2} \right) $ und $ r^2 = \frac{b_1^2}{2} + \frac{b_2^2}{2} + \frac{b_3^2}{2} -c $ bzw. $ r = \sqrt{\frac{b_1^2}{2} + \frac{b_2^2}{2} + \frac{b_3^2}{2} - c} $.

Beispiel