Korrelation verstehen und richtig interpretieren

Ein Merkmal ist etwas, das du beobachten oder messen kannst, etwa den Preis eines Produkts. Eine Korrelation beschreibt den Zusammenhang zwischen zwei Merkmalen. Positiv bedeutet: Größere Werte des einen Merkmals gehen tendenziell mit größeren Werten des anderen einher. Negativ bedeutet: Größere Werte des einen gehen tendenziell mit kleineren Werten des anderen einher. Die Wörter positiv und negativ bedeuten hier nicht gut und schlecht.

Die Pearson-Korrelation beschreibt einen linearen Zusammenhang. Linear bedeutet hier: Das Muster lässt sich ungefähr durch eine gerade Linie beschreiben. Der zugehörige Korrelationskoeffizient ist eine Kennzahl mit dem Zeichen r. Er liegt zwischen -1 und +1 und hat keine Einheit. Das Vorzeichen zeigt die Richtung. Für die Stärke betrachtest du den Abstand von null: r=-0{,}8 zeigt einen stärkeren linearen Zusammenhang als r=+0{,}2. Bei r=-0{,}6 und r=+0{,}6 ist die Stärke gleich.

Bei r=+1 liegen alle Wertepaare auf einer steigenden Geraden, bei r=-1 auf einer fallenden Geraden. Bei r=0 fehlt ein linearer Zusammenhang. Trotzdem kann ein anderes Muster bestehen, etwa eine U-Form: Die Werte fallen zunächst und steigen danach wieder.

Ein Streudiagramm stellt jedes Wertepaar als Punkt dar. Ein Wert bestimmt seine waagerechte, der andere seine senkrechte Lage. Bei einem ungefähr geraden Muster zeigt eine nach rechts steigende Punktwolke einen positiven Zusammenhang, eine fallende einen negativen. Je enger die Punkte um eine Gerade liegen, desto stärker ist der lineare Zusammenhang. Für diese Lektion brauchst du kein Bild: Die nötigen Werte und Muster stehen jeweils im Text.

Daten sind die gesammelten Angaben zu den Merkmalen. Sie müssen paarweise zusammengehören: Für dasselbe Geschäft erfasst du zum Beispiel sowohl die Verkaufsfläche als auch die monatlichen Einnahmen. Zahlen sind nicht automatisch gleichartige Daten. Eine Rangliste nennt eine Reihenfolge. Zwischen dem ersten und zweiten Platz muss der Unterschied nicht genauso groß sein wie zwischen dem zweiten und dritten.

Metrische Daten sind Messwerte, bei denen gleiche Zahlenabstände gleich große Unterschiede bedeuten, etwa Eurobeträge oder Längen in Metern. Pearson beschreibt den linearen Zusammenhang zweier solcher Merkmale. Ein gerades Muster und auffällige Einzelwerte prüfst du vor der Deutung. Für statistische Tests, mit denen du über die untersuchten Fälle hinausgehende Aussagen prüfst, gelten weitere Voraussetzungen. Dazu können Annahmen über die Verteilung der Werte gehören. Eine Normalverteilung ist eine glockenförmige Verteilung mit vielen Werten im mittleren Bereich und wenigen an den Rändern. Die Datenart allein reicht deshalb nicht für die Wahl eines Tests.

Die Spearman-Korrelation vergleicht Rangplätze. Sie passt zu zwei Merkmalen, deren Werte sich sinnvoll ordnen lassen. Sie kann auch Messwerte in Ränge umwandeln. Sie beschreibt einen monotonen Zusammenhang: Mit wachsenden Werten des einen Merkmals nehmen die anderen tendenziell zu oder tendenziell ab. Dabei muss das Muster keiner Geraden folgen. Eine U-Form ist kein durchgehend gleichsinniges oder gegensinniges Muster.

Die punktbiseriale Korrelation passt zu einem Merkmal mit genau zwei Kategorien und einem metrischen Merkmal. Kategorien sind Gruppen, zum Beispiel „Onlineshop vorhanden“ und „kein Onlineshop“. Zwei Kategorien heißen auch dichotom. Das zweite Merkmal könnte die monatliche Einnahme in Euro sein. Für einen statistischen Test musst du auch hier die weiteren Voraussetzungen prüfen. Unterscheide daher zuerst Messwerte, Rangplätze und zwei Kategorien; danach prüfst du Muster und Testvoraussetzungen.

Die Stärke beschreibt bei Pearson, wie eng zwei Merkmale einem geraden Muster folgen. Dafür betrachtest du den Abstand von r zu null. Statistische Signifikanz beantwortet eine andere Frage. Sie entsteht durch eine vorher festgelegte Testregel. Eine Stichprobe ist die untersuchte Auswahl von Fällen. Die Grundgesamtheit umfasst alle Fälle, über die du etwas wissen möchtest.

Ein Test auf Pearson-Korrelation kann von der Nullhypothese ausgehen: In der Grundgesamtheit ist die lineare Korrelation null. Eine Nullhypothese ist die Annahme, die der Test überprüft. Hier betrachten wir einen Test in beide Richtungen, also auf einen positiven oder negativen Zusammenhang. Sein p-Wert, mit p bezeichnet, ist unter der Nullhypothese und den übrigen Testannahmen die Wahrscheinlichkeit für ein Ergebnis, das mindestens so weit von null abweicht wie das beobachtete. Er ist nicht die Wahrscheinlichkeit, dass die Nullhypothese wahr ist.

Du vergleichst den p-Wert mit einer vorher gewählten Grenze. In unseren Aufgaben ist sie 0{,}05. Ist p kleiner oder gleich dieser Grenze, heißt das Ergebnis statistisch signifikant. Liegt p darüber, reicht der Test nach dieser Regel nicht zum Verwerfen der Nullhypothese. Das beweist aber nicht, dass sie wahr ist.

Auch ein schwacher Zusammenhang kann bei einer großen Stichprobe signifikant sein. Signifikanz bedeutet deshalb weder große Stärke noch große praktische Bedeutung. Kausalität bedeutet Ursache und Wirkung: Eine Veränderung bewirkt eine andere. Eine Korrelation allein beweist das nicht. Eine dritte Größe könnte beide Merkmale beeinflussen. Auch die umgekehrte Wirkungsrichtung kommt als Erklärung infrage. Ein kleiner p-Wert beseitigt diese Möglichkeiten nicht.

Frage zuerst, was genau erfasst wurde: Welche Merkmale, welche Fälle und welcher Zeitraum sind gemeint? Passen die Daten wirklich zusammen? Prüfe dann das Verfahren und das Muster. Ein einzelner Korrelationswert erzählt nicht die ganze Geschichte. Er ersetzt weder den Blick auf die Wertepaare noch die Prüfung der Testvoraussetzungen.

Ein Ausreißer ist hier ein Wertepaar, das stark vom Muster der übrigen Paare abweicht. Solche Paare können den Pearson-Wert stark beeinflussen. Fällt dir ein ungewöhnliches Geschäft auf, prüfst du zum Beispiel, ob die Angaben und Einheiten stimmen. Du entfernst einen Wert nicht bloß, um das gewünschte Ergebnis zu erhalten. Ein echtes ungewöhnliches Geschäft kann zur Untersuchung gehören.

Frage außerdem nach einer Drittvariable, also einem weiteren Merkmal, das beide untersuchten Merkmale beeinflussen könnte. Eine sogenannte Scheinkorrelation kann einen gemessenen Zusammenhang bezeichnen, hinter dem eine solche gemeinsame Ursache steckt. Der gemessene Zusammenhang kann dabei vorhanden sein; der direkte Schluss auf Ursache und Wirkung wäre irreführend. Eine mögliche Erklärung ist noch kein Nachweis.

Trenne in deinem Urteil die Beobachtung von der Erklärung. Nenne Richtung und Stärke, soweit sie angegeben sind. Frage gesondert nach Stichprobe und Signifikanz. Prüfe mögliche Drittvariablen und eine umgekehrte Wirkungsrichtung. Bei fehlenden Angaben sagst du, was offenbleibt. Aus einer Korrelation allein lässt sich eine Behauptung über eine Ursache nicht begründen.