Lorenzkurve berechnen, zeichnen und deuten

Eine Lorenzkurve zeigt, welcher Anteil des Gesamteinkommens auf die Personen mit den niedrigsten Einkommen entfällt. Dafür ordnest du die Personen nach ihrem Einkommen, vom kleinsten zum größten. In dieser Erklärung betrachten wir nichtnegative Einkommen, also Werte ab null, mit einer positiven Gesamtsumme. Alle Einkommen beziehen sich auf denselben Zeitraum.

Auf der waagerechten Achse steht der Personenanteil x. Auf der senkrechten Achse steht der zugehörige Einkommensanteil y. Beide Angaben sind kumuliert: Du zählst die Personen und ihre Einkommen vom unteren Ende her fortlaufend zusammen. Der Punkt P(60\%\mid36\%) bedeutet deshalb: Die unteren 60 Prozent der Personen erhalten zusammen 36 Prozent des Gesamteinkommens. Er sagt nicht, dass jede einzelne Person dieser Gruppe 36 Prozent erhält. Die übrigen 40 Prozent der Personen erhalten zusammen die restlichen 64 Prozent.

Die Gleichverteilungsgerade verbindet den Ursprung O(0\%\mid0\%) mit dem Endpunkt E(100\%\mid100\%). Auf ihr gilt y=x: Jeder untere Personenanteil erhält denselben Anteil am Gesamteinkommen. Bei gleichen Einkommen fällt die Lorenzkurve mit dieser Geraden zusammen. Bei ungleichen Einkommen liegt sie darunter; Anfang und Ende bleiben gleich.

Prüfe zunächst die Voraussetzungen: Die Gruppe enthält mindestens eine Person, kein Einkommen ist negativ und die Gesamtsumme ist größer als null. Nullwerte einzelner Personen sind erlaubt. Bestehen alle Werte aus null, kannst du keinen Anteil an einer positiven Gesamtsumme berechnen: Du müsstest durch null teilen. Negative Werte gehören nicht zu dem hier verwendeten Verfahren; mit ihnen könnten negative Einkommensanteile entstehen.

Sortiere die Einkommen aufsteigend. Bezeichne die Anzahl aller Personen mit n und die Anzahl der bisher berücksichtigten Personen mit k. Ihre bisher zusammengezählten Einkommen ergeben die Teilsumme T; die Summe aller Einkommen heißt S. Für jeden Schritt berechnest du x=\frac{k}{n}\cdot100\% und y=\frac{T}{S}\cdot100\%. x ist der Personenanteil, y der Einkommensanteil. Da jede Person einmal zählt, sind die Schritte auf der waagerechten Achse gleich groß.

Ein erfundener Datensatz mit vier Monatseinkommen lautet: 1.200 Euro, 200 Euro, 400 Euro und 200 Euro. Sortiert ergibt das 200 Euro, 200 Euro, 400 Euro und 1.200 Euro. Die Gesamtsumme beträgt 2.000 Euro. Die Tabelle zeigt die daraus berechneten Punkte, einschließlich des Ursprungs.

Zeichne zwei Achsen von 0 bis 100 Prozent. Verwende auf beiden Achsen dieselben Abstände für dieselben Prozentwerte. Beschrifte die waagerechte Achse mit „Personenanteil“ und die senkrechte mit „Einkommensanteil“. Trage die Punkte aus der Tabelle ein und verbinde benachbarte Punkte von links nach rechts mit geraden Strecken. Zeichne auch die Gleichverteilungsgerade vom Ursprung zum Endpunkt ein. Die Lorenzkurve fällt bei diesen Voraussetzungen nicht ab und liegt auf oder unter dieser Geraden.

Auch den Extremfall zeichnest du bei einer endlichen Gruppe mit geraden Verbindungsstrecken. Erhält bei vier Personen einer das gesamte Einkommen und die anderen nichts, verläuft die Kurve bis zum Punkt (75\%\mid0\%) auf der waagerechten Achse. Die letzte Strecke führt schräg zum Endpunkt (100\%\mid100\%).

Eine Lorenzkurve beschreibt relative Ungleichheit, also Unterschiede in den Anteilen am Gesamteinkommen. Liegt Kurve A bei keinem Personenanteil unter Kurve B und bei mindestens einem Anteil darüber, ist A nach diesem Vergleich gleichmäßiger verteilt. Das heißt Lorenz-Dominanz von A gegenüber B. Dabei vergleichst du die ganzen Kurven, nicht einen herausgegriffenen Punkt. Anfang und Ende stimmen bei beiden überein.

Schneiden sich die Kurven und wechseln dabei ihre Lage zueinander, fehlt diese eindeutige Rangfolge. Dann hat bei manchen unteren Personenanteilen A den größeren Einkommensanteil, bei anderen B. Die Tabelle zeigt einen erfundenen Vergleich: Bei den unteren 25 Prozent liegt B höher, bei den unteren 50 und 75 Prozent liegt A höher. Ergänzt werden jeweils der Ursprung und der Endpunkt; die Punkte werden geradlinig verbunden. Die Kurven schneiden sich zwischen 25 und 50 Prozent. Du kannst aus diesem Kurvenvergleich keine der beiden Verteilungen insgesamt als eindeutig gleichmäßiger bezeichnen.

Der Gini-Koeffizient ist eine Kennzahl für Ungleichheit. Er setzt die Fläche zwischen Gleichverteilungsgerade und Lorenzkurve ins Verhältnis zur gesamten Fläche unter der Gleichverteilungsgeraden. Bei Gleichverteilung ist die Zwischenfläche null, also auch der Gini-Koeffizient. Bei gleicher Achsenskalierung ergibt eine größere Zwischenfläche einen höheren Wert. Die Kennzahl fasst die Fläche zusammen; für die Frage, welcher untere Personenanteil wie viel erhält, musst du weiterhin die Kurve betrachten.

Die Lorenzkurve nennt keine Einkommenshöhe in Euro. Verdoppelst du jedes Einkommen, verdoppeln sich sowohl die Teilsummen als auch die Gesamtsumme. Die Anteile und damit die Kurve bleiben gleich. Aus derselben Lorenzkurve folgt deshalb nicht dasselbe Einkommensniveau. Für einen inhaltlich sinnvollen Vergleich prüfst du außerdem, ob dieselben Einheiten, etwa Personen statt Haushalte, und dieselbe Einkommensart verglichen werden.