Gewinnmaximum berechnen und richtig deuten

Wir betrachten jeweils einen festgelegten Zeitraum, etwa einen Tag. Die Menge x wird hergestellt und vollständig verkauft. Eine Funktion ordnet jeder erlaubten Menge einen Wert zu: E(x) bezeichnet den Erlös, also die Einnahmen aus dem Verkauf. K(x) sind die gesamten Kosten und G(x) ist der Gewinn. Erlös, Kosten und Gewinn werden in Euro angegeben.

Der Stückpreis p(x) wird in Euro je Stück angegeben. Er kann von der verkauften Menge abhängen. Es gilt E(x)=p(x)\cdot x und G(x)=E(x)-K(x). Ein positiver Gewinn bedeutet: Der Erlös übersteigt die Kosten. Bei einem negativen Gewinn entsteht Verlust. Bei G(x)=0 sind Erlös und Kosten gleich.

Die Kosten setzen sich aus Fixkosten K_f und variablen Gesamtkosten K_v(x) zusammen: K(x)=K_f+K_v(x). Fixkosten bleiben im betrachteten Zeitraum und innerhalb der angenommenen Kapazität unabhängig von der Menge gleich, etwa eine vereinbarte Werkstattmiete. Variable Kosten hängen von der Menge ab, etwa der Materialverbrauch. Sie müssen nicht gleichmäßig steigen.

Eine Nullstelle ist eine Menge, bei der der Funktionswert null ist. Hat die Gewinnfunktion zwei Nullstellen mit einer Gewinnzone dazwischen, heißt die untere Gewinnschwelle und die obere Gewinngrenze. An beiden Stellen ist der Gewinn null; zwischen ihnen ist er positiv. Eine solche Grenze ist noch kein Gewinnmaximum.

Lege zuerst den erlaubten Mengenbereich fest. Eine Kapazität ist die höchstens mögliche Produktionsmenge. Mengen unter null oder über dieser Grenze scheiden aus. Für die folgende Rechnung behandeln wir die Menge als stufenlos veränderlich. Das passt etwa zu Kilogramm. Bei ganzen Stückzahlen vergleichst du die erlaubten ganzen Mengen in der Nähe eines errechneten Maximums; gegebenenfalls gibt es mehrere gleich gute Mengen.

Die erste Ableitung G'(x) beschreibt die momentane Änderung des Gewinns bei einer kleinen Mengenänderung. Der Strich bedeutet, dass die Funktion abgeleitet wird. Entsprechend ist E'(x) der Grenzerlös und K'(x) sind die Grenzkosten: die momentanen Änderungen von Erlös und Kosten je zusätzlicher Mengeneinheit. Im stufenlosen Modell sind das Änderungsraten, nicht bei jedem Funktionsverlauf die exakten Beträge für ein ganzes weiteres Stück. Es gilt G'(x)=E'(x)-K'(x). Ist diese Differenz positiv, steigt der Gewinn bei einer kleinen Mengenerhöhung; ist sie negativ, sinkt er.

Bei einer ableitbaren Funktion muss ein Maximum im Inneren des Mengenbereichs die Bedingung G'(x)=0 erfüllen. Dort sind Grenzerlös und Grenzkosten gleich. Die Gleichheit liefert einen Kandidaten, noch keinen Beweis. Die zweite Ableitung G''(x) ist die Ableitung von G'(x). Ist sie am Kandidaten negativ, bestätigt sie ein örtliches Maximum: In seiner Nähe sind die Gewinnwerte kleiner. Ist sie positiv, liegt ein örtliches Minimum vor. Ist sie null, entscheidet dieser Test nicht.

Für unsere quadratischen Funktionen genügt diese Ableitungsregel: Aus G(x)=ax^2+bx+c wird G'(x)=2ax+b und G''(x)=2a. Dabei sind a, b und c feste Zahlen. Eine Konstante wird beim Ableiten zu null. Vergleiche für das höchste Ergebnis im ganzen abgeschlossenen Mengenbereich die Gewinnwerte aller inneren Kandidaten und beider Randmengen. Dieses Vorgehen setzen wir hier bei stetigen, also ohne Sprünge verlaufenden und im Inneren ableitbaren Funktionen ein.

Bei vollständiger Konkurrenz stehen im Modell viele kleine Anbieter vielen Käufern gegenüber. Die angebotenen Güter sind gleichartig und austauschbar. Der einzelne Anbieter nimmt den Marktpreis als gegeben hin. Deshalb heißt er Preisnehmer. Für ihn bleibt der Preis p bei einer Mengenänderung konstant. Somit gelten E(x)=p\cdot x und E'(x)=p. Für einen inneren Kandidaten des Gewinnmaximums folgt p=K'(x). Die Maximumprüfung und der Vergleich mit den Randmengen, einschließlich null, bleiben nötig.

Im hier betrachteten Monopol gibt es einen Anbieter des Gutes. Er verlangt einen einheitlichen Preis für seine verkauften Einheiten. Die Preis-Absatz-Funktion p(x) gibt an, welcher Preis zur verkauften Menge passt. Wir betrachten eine fallende Funktion: Um mehr zu verkaufen, muss der Anbieter den Preis senken. Der niedrigere Preis gilt dabei auch für die bisher verkauften Einheiten. Bei positiver Menge und negativer Ableitung der Preis-Absatz-Funktion liegt der Grenzerlös im stufenlosen Modell deshalb unter dem Stückpreis.

Der Monopolist bildet deshalb zunächst E(x)=p(x)\cdot x und leitet diese Erlösfunktion ab. Er sucht innere Kandidaten mit E'(x)=K'(x) und prüft das Maximum. Erst danach setzt er die beste Menge in p(x) ein, um den Verkaufspreis zu erhalten. Diese gewinnmaximierende Kombination von Menge und Preis heißt Cournotscher Punkt. Sie verwechselt weder den Preis mit dem Grenzerlös noch die Absatzmenge mit dem Preis.

Formuliere das Ergebnis mit Menge, Gewinn, Zeitraum und Annahmen. Ein Maximum beschreibt das beste Ergebnis innerhalb des festgelegten Modells. Es garantiert keinen positiven Gewinn. Auch eine gewinnmaximierende Menge kann Verlust bringen, wenn alle erlaubten Mengen negative Gewinnwerte haben. Ob ein Betrieb dann tatsächlich produziert oder stillsteht, hängt auch davon ab, welche Kosten beim Stillstand weiter anfallen. In unseren Rechnungen ist die Menge null deshalb eine Vergleichsmöglichkeit mit dem jeweils vorgegebenen Kostenwert.

Ein Modell vereinfacht die Wirklichkeit. Vollständige Konkurrenz setzt viele kleine Anbieter und austauschbare Güter voraus. Erweiterte Varianten nehmen zusätzlich vollständige Informationen, freien Marktzugang und sofortige Reaktionen an. Freier Marktzugang bedeutet, dass keine Eintrittshindernisse neue Anbieter abhalten. Ein einzelner Betrieb kann aber nicht einfach voraussetzen, dass sein eigener Markt diese Annahmen erfüllt. Eine Kapazitätsgrenze oder eine veränderte Nachfrage kann eine andere Menge zur besten Wahl machen.

Auch die Gewinnmaximierung als Unternehmensziel hat Grenzen. Unvollständige Informationen und Risiken erschweren die Planung. Tatsächliche und rechtliche Beschränkungen sowie Vorgaben aus Wertvorstellungen begrenzen die erlaubten Entscheidungen. Solche Nebenbedingungen müssen im Modell berücksichtigt werden. Ein Rechenergebnis ist deshalb keine sichere Vorhersage des tatsächlich erreichbaren Gewinns.

Der höchste Unternehmensgewinn ist außerdem kein Maß für den gesamten Vorteil aus Handel. Im üblichen Vergleichsmodell mit fallender Nachfrage, einheitlichem Monopolpreis und gleichen Kostenbedingungen verkauft der Monopolist weniger und verlangt einen höheren Preis als bei vollständiger Konkurrenz. Dadurch entfallen Käufe, bei denen die Zahlungsbereitschaft des Käufers über den zusätzlichen Herstellungskosten liegt. Zahlungsbereitschaft ist der höchste Preis, den ein Käufer zahlen würde. Die entgangenen gemeinsamen Handelsvorteile heißen Wohlfahrtsverlust. Die Mehrzahlung für weiterhin verkaufte Einheiten verschiebt dagegen Geld vom Käufer zum Anbieter; sie ist für sich genommen kein verschwundener Handelsvorteil.