Kosten-, Erlös- und Gewinnfunktionen anwenden

Ein Modell ist eine vereinfachte Beschreibung mit festgelegten Annahmen. Eine Funktion ordnet jeder erlaubten Menge einen bestimmten Wert zu. Hier bezeichnet x die täglich hergestellte und verkaufte Menge in Stück. Wir nehmen an, dass der Betrieb jedes hergestellte Stück verkauft. Alle Kosten und Erlöse beziehen sich auf denselben Tag. Die Schreibweise K(x) bedeutet: Gesamtkosten bei der Menge x, angegeben in Euro.

Fixkosten bleiben im betrachteten Mengenbereich gleich, etwa die vereinbarte Tagesmiete eines Standes. Wir nennen sie K_f, gemessen in Euro. Variable Kosten hängen von der hergestellten Menge ab, etwa Materialkosten. Im linearen Modell bleibt ihr Betrag je Stück gleich. Diese variablen Stückkosten heißen k_v und werden in Euro pro Stück angegeben. Damit gilt K(x)=K_f+k_v\cdot x. Linear bedeutet hier: Gleiche zusätzliche Mengen erhöhen die Kosten um gleiche Beträge. Die gezeichnete Funktion wäre eine Gerade. Bei positiven Fixkosten ist sie nicht proportional: Doppelte Menge bedeutet dann nicht doppelte Gesamtkosten.

Der Erlös ist der Betrag aus dem Verkauf, bevor Kosten abgezogen werden. p bezeichnet den gleichbleibenden Verkaufspreis in Euro pro Stück; E(x) ist der Erlös in Euro. Ohne Mengenrabatte gilt E(x)=p\cdot x. Der Gewinn ist der Erlös abzüglich sämtlicher Kosten des Modells. Für die Gewinnfunktion G(x) in Euro erhältst du G(x)=E(x)-K(x)=(p-k_v)\cdot x-K_f. Ziehe die ganze Kostenfunktion ab. Die Klammer verhindert, dass du das Minus vor den Fixkosten vergisst.

Die Formeln gelten hier bei gleichbleibendem Preis, gleichbleibenden variablen Stückkosten und festen Fixkosten im betrachteten Bereich. Für andere Bedingungen brauchst du gegebenenfalls andere Funktionen.

Ein Funktionswert entsteht, wenn du eine bestimmte Menge für x einsetzt. Ein kleiner Betrieb verkauft täglich alle bepflanzten Kräutertöpfe. Er kann höchstens 80 Stück herstellen. Seine Funktionen in Euro sind K(x)=96+3x, E(x)=7x und G(x)=4x-96. Bei 12 Töpfen ergibt sich K(12)=96+3\cdot12=132 Euro. Die Tabelle zeigt für jede betrachtete Menge Kosten, Erlös und Gewinn in eigenen Zeilen.

Die durchschnittlichen Stückkosten sind die gesamten Kosten geteilt durch die hergestellte Stückzahl. Wir schreiben dafür k(x)=K(x)/x, gemessen in Euro pro Stück. Das gilt für x>0; bei null Stück kannst du nicht durch die Stückzahl teilen. Für 12 Kräutertöpfe erhältst du k(12)=132/12=11 Euro je Stück. Die variablen Stückkosten betragen dagegen 3 Euro. Die gesamten Stückkosten enthalten zusätzlich einen Anteil der Fixkosten. Im linearen Modell mit positiven Fixkosten sinkt dieser Anteil, wenn du mehr herstellst: k(x)=k_v+K_f/x.

Die Gewinnschwelle ist hier die Menge, bei der Erlös und Gesamtkosten gleich sind. Dann gilt G(x)=0. Bei G(x)<0 entsteht Verlust, bei G(x)>0 Gewinn. Der Betrag p-k_v heißt Deckungsbeitrag je Stück: Er bleibt nach den variablen Kosten, um Fixkosten zu decken und danach Gewinn zu ermöglichen. Bei positiven Fixkosten und p>k_v ergibt sich die Schwellenmenge x=K_f/(p-k_v). Für den Kräutertopf-Betrieb sind das 24 Stück. Die Tabelle zeigt: Bei 24 Stück deckt der Erlös genau die Kosten, bei 40 Stück bleiben 64 Euro Gewinn.

Prüfe die berechnete Menge gegen die erlaubte Höchstmenge. Liegt die Schwelle darüber, erreicht der Betrieb sie in diesem Modell nicht. Bei positiven Fixkosten und p\leq k_v entsteht in diesem linearen Modell keine Gewinnschwelle für nichtnegative Mengen. Ist eine errechnete Schwelle keine ganze Stückzahl, prüfst du die benachbarten ganzen Stückzahlen: Eine genaue Kostendeckung kann zwischen ihnen liegen; die erste ganze Menge darüber erzielt bei p>k_v Gewinn.

Bei einer nichtlinearen Funktion verändert sich der Wert nicht durchgehend um denselben Betrag, wenn die Menge um gleich viel steigt. Die dargestellte Kurve ist deshalb keine Gerade. Zum Beispiel können zusätzliche Mengen immer teurer werden. Ein Gewinnmaximum ist der größte Gewinnwert im betrachteten Bereich.

Der ökonomische Definitionsbereich legt die wirtschaftlich zulässigen Mengen fest. Dazu gehören etwa nichtnegative Mengen und eine vorgegebene technische Höchstmenge. Verlust macht eine Menge nicht schon unzulässig. In unserem neuen Modell stellt ein Betrieb täglich Fruchtsaft her und verkauft die gesamte Menge. Jetzt steht x für Liter; auch Bruchteile eines Liters sind erlaubt. Es gilt 0\leq x\leq10. Die Funktionen liefern Euro: K(x)=x^2+2x+18 und E(x)=14x. Dabei bedeutet x^2 die Zahl x mit sich selbst multipliziert. Der Gewinn ist G(x)=-x^2+12x-18.

Für dieses Modell kannst du das Maximum mit Ableitungen finden. Die erste Ableitung G'(x) beschreibt, wie sich der Gewinn bei einer sehr kleinen Mengenerhöhung verändert, hier in Euro je Liter. Ein positiver Wert bedeutet dort steigenden, ein negativer Wert fallenden Gewinn. Beim Ableiten wird hier aus -x^2 der Ausdruck -2x, aus 12x die Zahl 12 und aus dem festen Betrag -18 die Zahl 0. Also ist G'(x)=-2x+12. Eine mögliche beste Menge im Inneren des Bereichs findest du durch G'(x)=0. Das ergibt x=6.

Die zweite Ableitung G''(x) beschreibt die Änderung der ersten Ableitung, hier in Euro je Liter zum Quadrat. Aus -2x+12 wird beim erneuten Ableiten -2. Bei einer zweimal ableitbaren Funktion gilt für eine innere Stelle x_0: Aus G'(x_0)=0 und G''(x_0)<0 folgt ein örtliches Maximum. Örtlich heißt: In der Nähe ist kein Gewinnwert größer. Die erste Bedingung allein reicht nicht. Bei G''(x_0)>0 liegt stattdessen ein örtliches Minimum vor, also ein kleinster Wert in der Nähe. Bei G''(x_0)=0 entscheidet dieser Test nicht.

Für den größten Gewinn im gesamten zulässigen Bereich prüfst du zusätzlich die Bereichsgrenzen und weitere mögliche Maxima. Im Fruchtsaft-Modell gibt es eine innere Stelle mit G'(x)=0, nämlich 6 Liter. Die Probe im Beispiel vergleicht sie mit beiden Grenzen. Würde der Betrieb höchstens 4 Liter schaffen, wären 6 Liter unzulässig. Auf dem Bereich von 0 bis 4 Litern steigt der Gewinn; dort wären 4 Liter die beste Menge. Bei Waren, die es als ganze Stücke gibt, musst du außerdem passende benachbarte ganze Mengen vergleichen.