Kostenfunktion und Gewinnmaximum berechnen

Eine Funktion ordnet jedem eingesetzten Wert einen Ergebniswert zu. Hier bezeichnet x den Zahlenwert der in einer Woche produzierten und verkauften Menge in Kilogramm. Die Preisfunktion p(x) liefert den Preis in Euro je Kilogramm. Die Erlösfunktion E(x) liefert die gesamten Verkaufseinnahmen in Euro. Gilt für die gesamte verkaufte Menge derselbe Preis, rechnest du E(x)=p(x)\cdot x. Bei einem festen Preis p wird daraus E(x)=p\cdot x.

Die Kostenfunktion K(x) gibt die Gesamtkosten dieser Woche in Euro an. Fixkosten ändern sich im betrachteten Mengenbereich nicht mit der Menge, etwa eine vereinbarte Wochenmiete. Variable Kosten hängen von der Menge ab. Die Gesamtkosten sind die Summe beider Teile. Ziehe sie vollständig vom Erlös ab: G(x)=E(x)-K(x). Die Gewinnfunktion G(x) liefert den Gewinn in Euro. Ein negativer Wert bedeutet Verlust. Der Wert null bedeutet, dass die Kosten gerade gedeckt sind.

Lege vor der Rechnung den zulässigen Mengenbereich fest, also die erlaubten Werte für x. Eine Menge kann hier nicht negativ sein. Beachte auch die Liefer- oder Produktionsgrenze und einen sinnvollen Preis. In unseren erfundenen Kilogrammbeispielen erlauben wir zunächst auch Bruchteile eines Kilogramms. Bei einer sinkenden Preisfunktion muss für einen größeren Verkauf die gesamte Menge zum jeweils zugehörigen Preis verkauft werden. Deshalb ist der Preis je Kilogramm nicht mit dem gesamten Erlös gleichzusetzen.

Die Ableitung beschreibt die momentane Änderungsrate einer Funktion. Ein Strich kennzeichnet die erste Ableitung: G'(x) zeigt hier, wie sich der Gewinn bei einer sehr kleinen Mengenänderung verändert, gemessen in Euro je Kilogramm. Ist sie positiv, steigt der Gewinn bei etwas mehr Menge; ist sie negativ, fällt er. Für unsere Rechenfälle genügen diese Regeln: Aus x^2 wird 2x, aus c\cdot x wird c, aus einem festen Betrag wird null. Dabei steht c für eine feste Zahl. Vorzeichen und feste Faktoren bleiben erhalten; Summen leitest du Glied für Glied ab.

Eine innere Stelle liegt zwischen den Grenzen des Mengenbereichs. Dort muss bei einer ableitbaren Gewinnfunktion am Maximum G'(x)=0 gelten. Das liefert zunächst einen Kandidaten. Die zweite Ableitung G''(x) erhältst du, indem du die erste noch einmal ableitest. Ist sie am Kandidaten negativ, liegt ein örtliches Maximum vor: In seiner unmittelbaren Umgebung ist kein Gewinn größer. Ist sie positiv, liegt ein örtliches Minimum vor, also der kleinste Gewinn in der unmittelbaren Umgebung. Bei null entscheidet dieser Test nicht. Du kannst dann beispielsweise prüfen, ob die erste Ableitung von positiv zu negativ wechselt. Das bestätigt ebenfalls ein örtliches Maximum.

Gesucht ist der größte Gewinn im gesamten zulässigen Bereich. Für die hier verwendeten quadratischen Funktionen auf einem Bereich mit eingeschlossenen Grenzen vergleichst du die Gewinne an den inneren Kandidaten und an beiden Grenzen. Beim Granulat ist G'(x)=-2x+18. Aus -2x+18=0 folgt x=9. Diese Menge ist zulässig. Wegen G''(x)=-2<0 ist sie örtlich maximal. Es gilt G(0)=-32, G(9)=49 und G(20)=-72, jeweils in Euro. Da die erste Ableitung keinen weiteren Kandidaten liefert, sind 9 kg die gewinnmaximierende Menge. Das Gewinnmaximum beträgt 49 Euro. Am Rand kann der größte Gewinn auch ohne Ableitung null liegen.

Der Grenzerlös E'(x) beschreibt die momentane Änderung des Erlöses bei etwas mehr Absatz. Die Grenzkosten K'(x) beschreiben die momentane Änderung der Gesamtkosten bei etwas mehr Produktion. Beide Größen werden hier in Euro je Kilogramm gemessen. In einem glatten, also ohne Knick ableitbaren Modell geben sie für kleine Mengenänderungen eine Näherung des zusätzlichen Erlöses und der zusätzlichen Kosten an. Für genau ein ganzes zusätzliches Kilogramm berechnest du dagegen die Differenz der Funktionswerte. Diese Differenz muss nicht genau dem Ableitungswert entsprechen.

Aus G(x)=E(x)-K(x) folgt G'(x)=E'(x)-K'(x). Ist der Grenzerlös größer als die Grenzkosten, erhöht eine kleine zusätzliche, zulässige Menge den Gewinn. Sind die Grenzkosten größer, verringert sie den Gewinn; etwas weniger Menge erhöht ihn dann. Der Unterschied der beiden Ableitungen ist eine Änderungsrate, kein Gesamtgewinn. An einem inneren Gewinnmaximum einer ableitbaren Funktion muss deshalb E'(x)=K'(x) gelten. Die Gleichheit allein bestätigt das Maximum noch nicht. Auch die Maximumprüfung und die Randwerte bleiben nötig.

Beim Granulat gilt E'(x)=24-2x und K'(x)=6. Bei 9 kg sind beide gleich 6 Euro je Kilogramm. Der Preis beträgt dort aber p(9)=15 Euro je Kilogramm. Bei sinkendem Preis betrifft die Preissenkung auch die bisher verkaufte Menge. Deshalb ist der Grenzerlös hier kleiner als der Preis. Nimmt ein Betrieb dagegen einen festen Preis p als gegeben hin, gilt im betrachteten Bereich E(x)=p\cdot x und E'(x)=p. Dann wird die Bedingung für einen inneren Kandidaten zu p=K'(x). Das ist eine andere Preisannahme, keine Regel für jede Preisfunktion.

Der Break-even-Point, hier die Gewinnschwelle, bezeichnet den Übergang aus der Verlustzone in die Gewinnzone. An dieser Menge deckt der Erlös die Gesamtkosten: E(x)=K(x) und damit G(x)=0. Eine Nullstelle ist ein eingesetzter Wert, bei dem eine Funktion null wird. Für Kostendeckung suchst du also Nullstellen von G, nicht von G'. Das Gewinnmaximum beantwortet dagegen, bei welcher zulässigen Menge der Gewinn am größten ist. Ein Betrieb kann seine Kosten bereits decken und durch eine andere Menge noch mehr Gewinn erzielen.

Beim Granulat lässt sich die Gewinnfunktion als G(x)=-(x-2)(x-16) schreiben. Bei 2 kg und 16 kg ist der Gewinn null. Zwischen diesen Mengen ist er positiv; darunter und oberhalb bis zur zulässigen Grenze von 20 kg ist er negativ. Die untere Nullstelle bei 2 kg ist die Gewinnschwelle, die obere bei 16 kg die Gewinngrenze, der Übergang zurück in die Verlustzone. An den beiden Nullstellen selbst entsteht weder Gewinn noch Verlust. Das Maximum liegt dagegen bei 9 kg mit 49 Euro. Ein Modell muss nicht zwei solche Übergänge haben.

Ein Modell bildet einen Ausschnitt der Wirklichkeit vereinfacht ab. Hier gelten die vorgegebenen Preis- und Kostenfunktionen für eine feste Woche und einen bestimmten Mengenbereich. Wir setzen voraus, dass die produzierte Menge auch verkauft wird, und suchen als Ziel den höchsten Gewinn. Geschätzte Preise oder Kosten können sich als falsch erweisen. Eine Kapazitätsgrenze ist die höchstens herstellbare Menge. Liegt die berechnete innere Bestmenge darüber, musst du im kleineren zulässigen Bereich neu vergleichen. Bei unteilbaren Produkten sind ganze Stückzahlen zu prüfen. Eine rechnerische Zwischenmenge ist dann nicht verkaufbar. Die Rechnung ist deshalb eine Entscheidungshilfe unter Annahmen, keine Garantie für einen tatsächlichen Gewinn.