Kosten- und Erlösfunktion einfach erklärt

Eine Funktion ordnet jedem erlaubten Eingabewert einen Ergebniswert zu. Hier bezeichnet x eine Menge in Stück für einen festgelegten Zeitraum, etwa einen Monat. Wir nehmen zunächst an: Alle hergestellten Stücke werden verkauft. Preis und variable Kosten je Stück bleiben gleich. Kosten und Erlös beziehen sich auf denselben Zeitraum; Steuern betrachten wir in diesen vereinfachten Modellen nicht gesondert.

Fixkosten fallen im Modell unabhängig von der Menge an, etwa eine feste Monatsmiete. Ihr Betrag in Euro heißt K_f. Die variablen Stückkosten k_v sind die zusätzlichen Kosten je Stück, etwa für Material und Verpackung, in Euro pro Stück. Die gesamten variablen Kosten sind k_v\cdot x. Die Kostenfunktion lautet deshalb K(x)=K_f+k_v\cdot x. Ihr Ergebnis sind die Gesamtkosten in Euro. Diese Form ist linear: Der Kostenbetrag wächst bei gleich großen Mengenschritten jeweils um denselben Betrag.

Der Verkaufspreis je Stück heißt p und wird in Euro pro Stück angegeben. Der Erlös, auch Umsatz genannt, ist der Betrag aus den Verkäufen vor Abzug der Kosten. Bei gleichbleibendem Preis gilt für die Erlösfunktion E(x)=p\cdot x. Ihr Ergebnis steht in Euro.

Die Gewinnfunktion ist G(x)=E(x)-K(x), ebenfalls in Euro. Setze die gesamte Kostenfunktion in Klammern: G(x)=px-(K_f+k_vx)=(p-k_v)x-K_f. Ein positiver Wert bedeutet Gewinn, ein negativer Wert Verlust. Bei G(x)=0 sind Kosten und Erlös gleich hoch. Erlös und Gewinn sind also verschiedene Größen.

Ein Funktionswert ist das Ergebnis für eine bestimmte eingesetzte Menge. Bei K(x)=3x+90 und E(x)=8x zählt x die pro Woche hergestellten und verkauften Hefte; die Ergebnisse stehen in Euro. Für 12 Hefte erhältst du K(12)=126, E(12)=96 und G(12)=96-126=-30. Der Wochenverlust beträgt 30 €.

An der Gewinnschwelle deckt der Erlös genau die Gesamtkosten. Du berechnest sie mit E(x)=K(x) oder gleichbedeutend mit G(x)=0. Im Heftmodell folgt 8x=3x+90, also 5x=90 und x=18. Bei 18 Heften betragen Kosten und Erlös jeweils 144 €. Der Gewinn ist null.

Für das lineare Modell aus Abschnitt 1 gilt bei positiven Fixkosten und p>k_v: Die Gewinnschwelle liegt bei x=K_f/(p-k_v). Die Differenz p-k_v heißt Deckungsbeitrag je Stück. Sie gibt an, wie viel vom Preis nach Abzug der variablen Stückkosten zur Deckung der Fixkosten übrig bleibt. Erst nach deren Deckung entsteht Gewinn.

Unter diesen Bedingungen sind kleinere Mengen verlustreich und größere Mengen gewinnbringend, sofern sie im Modell zulässig sind. Bei positiven Fixkosten und p\leq k_v gibt es in diesem linearen Modell keine nichtnegative Menge ohne Verlust. Geht es um unteilbare Stücke und ist die errechnete Schwelle keine ganze Zahl, prüfst du die nächste größere ganze Stückzahl als erste Menge ohne Verlust. Sie bringt dann bereits positiven Gewinn.

Die ökonomische Definitionsmenge enthält die Mengen, für die das Modell wirtschaftlich sinnvoll und nach den Angaben möglich ist. Ökonomisch bedeutet hier wirtschaftlich. Eine Formel kann auch für andere Zahlen Ergebnisse liefern; daraus wird noch keine mögliche Produktion.

Prüfe zuerst: Eine hergestellte oder verkaufte Menge ist nicht negativ. Beachte dann die Kapazitätsgrenze: Das ist die höchste Menge, die der Betrieb im betrachteten Zeitraum unter den genannten Bedingungen herstellen kann. Bei unteilbaren Waren kommen außerdem ganze Stückzahlen infrage. Ein Modell für Flüssigkeit kann dagegen auch Bruchteile von Litern zulassen. Die Einheit und die Aufgabenangaben entscheiden.

Ein Betrieb kann beispielsweise höchstens 36 Holzboxen pro Tag herstellen und verkauft alle hergestellten Boxen. Erlaubt sind dann die ganzen Stückzahlen von 0 bis 36. Eine rechnerische Gewinnschwelle von 40 Boxen liegt außerhalb dieser Definitionsmenge. Sie ist nicht erreichbar, auch wenn die Gleichung richtig gelöst wurde.

Wenn der Preis von der verkauften Menge abhängt, prüfen wir in unseren Modellen zusätzlich, dass er nicht negativ wird. Bei p(x)=24-2x in Euro pro Stück gilt dafür x\leq12. Kann der Betrieb höchstens 9 Stück im Zeitraum herstellen, sind bei unteilbaren Waren die ganzen Mengen von 0 bis 9 zulässig. Beide Grenzen gelten gleichzeitig.

Bisher war der Stückpreis konstant. Eine Preis-Absatz-Funktion p(x) beschreibt dagegen den Preis je Stück in Abhängigkeit von der verkauften Stückzahl x. Dabei gilt für jedes Stück der zur Menge gehörende Preis. Bei p(x)=36-2x in Euro pro Stück lautet die Erlösfunktion E(x)=p(x)\cdot x=-2x^2+36x in Euro. Sie ist quadratisch, weil die höchste vorkommende Potenz x^2 ist, und damit nicht linear.

Der Graph, also die gezeichnete Darstellung, einer quadratischen Funktion heißt Parabel. Hier ist sie nach unten geöffnet, weil die Zahl vor x^2 negativ ist. Ihr höchster Punkt heißt Scheitelpunkt. Die zugehörige Menge kannst du ohne Ableitungen durch Umformen finden: E(x)=-2(x-9)^2+162. Diese Schreibweise heißt Scheitelpunktform. Durch Ausmultiplizieren kannst du prüfen, dass sie dieselbe Funktion beschreibt.

Das Quadrat (x-9)^2 ist mindestens null. Daher ist -2(x-9)^2 höchstens null. Somit kann E(x) den Wert 162 nicht überschreiten. Bei x=9 wird das Quadrat null: Der größtmögliche Erlös beträgt 162 € bei 9 Stück. Der Scheitelpunkt hat also die Menge 9 und den Erlös 162 €.

Prüfe auch hier die Definitionsmenge. Im Beispiel begrenzt ein nichtnegativer Preis die Menge auf höchstens 18 Stück. Bei einer Kapazität von 14 ganzen Stücken ist 9 zulässig. Läge die Kapazität bei 7, müsstest du die erlaubten Mengen betrachten: Bis zum Scheitelpunkt steigt diese Parabel; der größte zulässige Erlös läge deshalb bei 7 Stück. Liegt die Scheitelmenge zwischen ganzen Stückzahlen, vergleichst du die zulässigen Nachbarzahlen. Das Erlösmaximum bedeutet den größten Umsatz; für den größten Gewinn musst du zusätzlich die Kosten berücksichtigen.